Les ondes
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[Page 1]
R4.03 - PHYSIQUE
DES TELECOM
Ondes EM
Propagation sur une
ligne
Adaptation
d’impédance
Abaques de Smith
[Page 2]
ORGANISATION - PHYSIQUE DES TÉLÉCOM
• R4.12 => cours d’introduction aux ondes
• 2h CM
• 2h TD
• 8h TP
• R4.03 => physique des télécom
• 4h CM
• 6h TD
• 12h TP
[Page 3]
TÉLÉCOMMUNICATION
=> COMMUNICATION A (LONGUE) DISTANCE
[Page 4]
ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES
Le champ électrique 𝑬
𝐸
𝑥
𝐸
𝑦
𝐸
𝑧
(V/m)
Une particule électriquement chargée de charge 𝑞 située dans un champ
électrique 𝐸 subit une force
Ԧ
𝑓 = 𝑞𝐸
• ∇ ⋅ 𝐸 =
𝜌
𝜖
0
Maxwell-Gauss (Coulomb)
𝜌 : densité de charge électrique (source en C/m
3
)
𝜖
0
: permittivité diélectrique du vide (F/m)
∇ ⋅ 𝐸 = 𝑑𝑖𝑣𝐸 =
𝜕𝐸
𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝐸
𝑦
𝜕𝑦
+
𝜕𝐸
𝑧
𝜕𝑧
[Page 5]
ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES
Le champ magnétique 𝑩
𝐵
𝑥
𝐵
𝑦
𝐵
𝑧
(T)
Une particule électriquement chargée de charge 𝑞 se déplaçant à la
vitesse 𝑣 dans un champ magnétique 𝐵 subit une force
Ԧ
𝑓 = 𝑞𝑣𝐵
• ∇ ⋅ 𝐵 = 0 Maxwell-Thomson
[Page 6]
ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES
Les équations de Maxwell
• ∇ ⋅ 𝐸 =
𝜌
𝜖
0
Maxwell-Gauss (Loi de Coulomb)
• ∇ ⋅ 𝐵 = 0 Théorème de Maxwell Thomson
• ∇ × 𝐸 = −
𝜕
𝜕𝑡
𝐵 Loi de Faraday
• ∇ × 𝐵 = −𝜇
0
Ԧ
𝐽 − 𝜇
0
𝜖
0
𝜕
𝜕𝑡
𝐸 Théorème de Maxwell-Ampère
∇ =
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
[Page 7]
ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES
Les équations de Maxwell en champ libre (pas de ligne de courant)
• ∇ ⋅ 𝐸 = 0
• ∇ ⋅ 𝐵 = 0
• ∇ × 𝐸 = −
𝜕
𝜕𝑡
𝐵
• ∇ × 𝐵 = −𝜇
0
𝜖
0
𝜕
𝜕𝑡
𝐸
[Page 8]
ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES
Propagation des ondes EM en champ libre
• ∇ × 𝐸 = −
𝜕
𝜕𝑡
𝐵
• ∇ × 𝐵 = −𝜇
0
𝜖
0
𝜕
𝜕𝑡
𝐸
=> En 1D :
𝜕
2
𝐸
𝜕𝑥
2
=
1
𝑐
2
𝜕
2
𝐸
𝜕𝑡
2
et
𝜕
2
𝐵
𝜕𝑥
2
=
1
𝑐
2
𝜕
2
𝐵
𝜕𝑡
2
c
2
= 𝜇
0
𝜖
0
𝜖
0
: permittivité diélectrique du vide (F/m) ; 𝜇
0
: perméabilité magnétique du vide (H/m)
∇ × 𝐸 = 𝑟𝑜𝑡𝐸 =
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
×
𝐸
𝑥
𝐸
𝑦
𝐸
𝑧
=
𝜕𝐸
𝑧
𝜕𝑦
−
𝜕𝐸
𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝐸
𝑥
𝜕𝑧
−
𝜕𝐸
𝑧
𝜕𝑥
𝜕𝐸
𝑥
𝜕𝑦
−
𝜕𝐸
𝑦
𝜕𝑥
[Page 9]
ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES
• Les équations de Maxwell – qu’en retenir ?
• Régime stationnaire => E et B indépendant l’un de l’autre
• Régime ondulatoire => E et B ondulent ensemble => propagation simultanée et orthogonale
(polarisation)
• Vitesse de propagation => vitesse de la lumière (vitesse constante en fonction de la longueur
d’onde/fréquence dans le vide -> pas vrai dans tout les milieux)
[Page 11]
ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES
• Applications :
• Télécommunications
GSM : 890 960 MHz, 1,71 1,88 GHz // 4G : 700 MHz, 800 MHz, 1800 MHz, 2600 MHz
• Radio-commandes
Radio commandes : 27 MHz, 40 MHz, 72 MHz, 2,4 GHz // Drones : 2,4 GHz, 5,8 GHz
• Radiodiffusions
Radio FM (bande II) : 87,5 108 MHz // Radio-amateurs : 144 148 MHz
• Radionavigation
GPS : 1217 1237 MHz et 1565 1585 MHz
• Four à micro-onde : 2,45GHz
[Page 12]
SUPPORTS DE TRANSMISSION
Propagation libre (terrestre/spatiale) Propagation guidée (câble/guide d’onde)
[Page 13]
LES LIGNES POUR LA
TRANSMISSION
[Page 14]
SUPPORT DE TRANSMISSION (LIGNE)
Choix de ligne en fonction de la bande passante et de l’atténuation de ligne
Ligne bifilaire Ligne coaxiale
Ligne micro-ruban (microstrip) Guide d’onde métallique
• Fibre optique …
[Page 15]
ATTÉNUATION DE LIGNE
[Page 16]
MESURE ET CALCUL DE PUISSANCE
• radiofréquences (RF) et Télécoms optiques => Puissance exprimée en mW ou dBm
• Calcul de la Puissance en Watt dans une ligne de transmission d’impédance 𝑍
𝑐
[Page 17]
MESURE ET CALCUL DE PUISSANCE
• radiofréquences (RF) et Télécoms optiques => Puissance exprimée en mW ou dBm
• Calcul de la Puissance en Watt dans une ligne de transmission d’impédance 𝑍
𝑐
𝑃 𝑊 =
𝑈
𝑒𝑓𝑓
2
𝑍
𝑐
Tension efficace (en V) : 𝑈
𝑒𝑓𝑓
=
𝑈
𝑎𝑚𝑝
2
avec 𝑈
𝑎𝑚𝑝
l’amplitude de la tension
[Page 18]
RAPPEL SUR LES DECIBELS
• bel (B) : exprime un rapport de puissance en échelle logarithmique de base 10
𝑋(𝐵) = log
10
𝑃
1
𝑃
2
Exemple :
𝑃
1
𝑃
2
= 100 = 10
2
⇒ 𝑋 = 2 𝐵
[Page 19]
RAPPEL SUR LES DECIBELS
• bel (B) : exprime un rapport de puissance en échelle logarithmique de base 10
𝑋(𝐵) = log
10
𝑃
1
𝑃
2
Exemple :
𝑃
1
𝑃
2
= 100 = 10
2
⇒ 𝑋 = 2 𝐵
• décibel (dB) : 𝑋 𝑑𝐵 = 10 ⋅ 𝑋(𝐵) = 10 log
10
𝑃
1
𝑃
2
Exemple :
𝑃
1
𝑃
2
= 1000 = 10
3
⇒ 𝑋 = 3 𝐵 ⇒ 𝑋 = 30 𝑑𝐵
[Page 20]
MESURE ET CALCUL DE PUISSANCE
• Puissance en dBm
𝑃 𝑑𝐵𝑚 = 10 log 𝑃 𝑚𝑊 ⇔ 𝑃 𝑚𝑊 = 10
𝑃(𝑑𝐵𝑚)/10
[Page 21]
MESURE ET CALCUL DE PUISSANCE
• Puissance en dBm
𝑃 𝑑𝐵𝑚 = 10 log 𝑃 𝑚𝑊 ⇔ 𝑃 𝑚𝑊 = 10
𝑃(𝑑𝐵𝑚)/10
Remarque : pour un câble d’impédance 𝑍
𝑐
= 50Ω et une puissance de 1mW
𝑈
𝑒𝑓𝑓
= 𝑃 𝑊 𝑍
𝑐
= 0.001 ∗ 50 = 0.2236V
𝑃 𝑑𝐵𝑚 = 20 log
𝑈
𝑒𝑓𝑓
0.2236
[Page 22]
MESURE ET CALCUL DE PUISSANCE
• Puissance en dBm
𝑃 𝑑𝐵𝑚 = 10 log 𝑃 𝑚𝑊 ⇔ 𝑃 𝑚𝑊 = 10
𝑃(𝑑𝐵𝑚)/10
Remarque : pour un câble d’impédance 𝑍
𝑐
= 50Ω et une puissance de 1mW
𝑈
𝑒𝑓𝑓
= 𝑃 𝑊 𝑍
𝑐
= 0.001 ∗ 50 = 0.2236V
𝑃 𝑑𝐵𝑚 = 20 log
𝑈
𝑒𝑓𝑓
0.2236
• Gain (>0), atténuation ou pertes (<0) en dB
𝛼 𝑑𝐵 = 10 log
𝑃
𝑠
𝑃
𝑒
= 20 log
𝑈
𝑠
𝑈
𝑒
[Page 23]
PROPAGATION DANS UNE LIGNE
Transmission de signaux électriques dans une ligne
[Page 24]
ELECTRONIQUE HYPERFRÉQUENCE (MICRO-ONDE)
300𝑀𝐻𝑧 < 𝑓 < 300𝐺𝐻𝑧
• Electronique classique
• Basse fréquence
• Approximation des Régimes Quasi-Stationnaires (ARQS ou ARQP pour Permanents).
• Temps de propagation négligeable
• Ondes électromagnétiques (OEM) à l'instant t : les mêmes dans le circuit
• Electronique micro-onde
• Haute fréquence
• Dimensions des circuits > longueur d’onde => variations de courant dans le circuit non négligeables
⇒ v(x, t), i(x, t), Z(x, t)
[Page 25]
ELECTRONIQUE HYPERFRÉQUENCE (MICRO-ONDE)
• En pratique, phénomènes ondulatoires à prendre en compte si 𝑳 > 𝝀/𝟏𝟎
Rappels et notations
• Longueur d’onde dans le vide : 𝝀
𝟎
=
𝒄
𝒇
avec 𝑐 = 3 ⋅ 10
8
𝑚/𝑠 (vitesse de la lumière dans le vide)
• Vitesse de phase : 𝒗
𝝋
=
𝒄
𝒏
=
𝒄
𝝐
𝒓
𝑛 : indice de réfraction ; 𝜖
𝑟
: permittivité relative du diélectrique
• Longueur d’onde guidée : 𝝀
𝒈
=
𝒗
𝝋
𝒇
=
𝝀
𝟎
𝒏
=
𝝀
𝟎
𝝐
𝒓
[Page 26]
PHÉNOMÈNES DANS UNE LIGNE
• Basses fréquences (<1MHz)
Pertes par effet Joule et par rayonnement => ligne modélisée par une simple résistance en série
• Si on augmente la fréquence
1. Filtrage passe-bas => Modélisation par une capacité en parallèle sur la ligne
2. Comportement inductif (auto-inductance) => Modélisation par une inductance en série
3. Courant de fuite entre les 2 conducteurs => Modélisation par une résistance (ou conductance)
en parallèle
[Page 27]
SCHÉMA ÉQUIVALENT D’UN SEGMENT DE LIGNE
• R : résistance linéique Ω/m
• L : inductance linéique H/m
• C : capacité linéique F/m
• G : conductance linéique Ω
−1
/m
𝐝𝐱 ≪ 𝝀
[Page 28]
EQUATION DES TÉLÉGRAPHISTES
𝜕𝑣 𝑥, 𝑡
𝜕𝑥
= −𝑅 ⋅ 𝑖 𝑥, 𝑡 − 𝐿
𝜕𝑖 𝑥, 𝑡
𝜕𝑡
𝜕𝑖 𝑥, 𝑡
𝜕𝑥
= −𝐺 ⋅ 𝑣 𝑥, 𝑡 − 𝐶
𝜕𝑣 𝑥, 𝑡
𝜕𝑡
Solution générale :
• 𝑖 𝑥, 𝑡 = 𝐼
𝑖
𝑒
𝑗𝜔𝑡−𝛾𝑥
+ 𝐼
𝑟
𝑒
𝑗𝜔𝑡+𝛾𝑥
= 𝑖
𝑖
𝑡 𝑒
−𝛾𝑥
+ 𝑖
𝑟
𝑡 𝑒
𝛾𝑥
• 𝑣 𝑥, 𝑡 = 𝑉
𝑖
𝑒
𝑗𝜔𝑡−𝛾𝑥
+ 𝑉
𝑟
𝑒
𝑗𝜔𝑡+𝛾𝑥
= 𝑣
𝑖
𝑡 𝑒
−𝛾𝑥
+ 𝑣
𝑟
𝑡 𝑒
𝛾𝑥
Constante de propagation : 𝛾 = 𝑅 + 𝑗𝜔𝐿 𝐺 + 𝑗𝜔𝐶 = 𝛼 + 𝑗𝛽
[Page 29]
EQUATION DES TÉLÉGRAPHISTES
• Représentation de l’onde progressive
• 𝛾 = 𝑅 + 𝑗𝜔𝐿 𝐺 + 𝑗𝜔𝐶 = 𝛼 + 𝑗𝛽
• 𝛼 : paramètre d’atténuation (np/m)
• 𝛽 : paramètre de phase (équivalent nombre d’onde 𝑘)
ℜ 𝑉
𝑖
𝑒
𝑗𝜔𝑡−𝛾𝑥
= 𝑉
𝑖
e
−𝛼𝑥
cos(𝜔𝑡 − 𝛽𝑥)
𝛼 𝑑𝐵/𝑚 = 20 log 𝑒
−𝛼
= −8.68𝛼
[Page 30]
IMPÉDANCE CARACTÉRISTIQUE D’UNE LIGNE
• Impédance : 𝑍 =
𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑡𝑖𝑒𝑙
𝑓𝑙𝑢𝑥
• Impédance caractéristique d’une ligne ⇒ 𝑍
𝑐
=
𝑣
𝑖
𝑥,𝑡
𝑖
𝑖
𝑥,𝑡
= −
𝑣
𝑟
𝑥,𝑡
𝑖
𝑟
𝑥,𝑡
𝑍
𝑐
=
𝑅 + 𝑗𝜔𝐿
𝐺 + 𝑗𝜔𝐶
[Page 31]
LIGNE SANS PERTE
𝑅 ≪ 𝑗𝜔𝐿 𝐺 ≪ 𝑗𝜔𝐶
Représentation de l’onde progressive
• 𝛾 = 𝑗𝛽 = 𝑗𝜔 𝐿𝐶
ℜ 𝑉
𝑖
𝑒
𝑗𝜔𝑡−𝛾𝑥
= 𝑉
𝑖
cos(𝜔𝑡 − 𝛽𝑥)
[Page 32]
LIGNE SANS PERTE
𝑅 ≪ 𝑗𝜔𝐿 𝐺 ≪ 𝑗𝜔𝐶
Représentation de l’onde progressive
• 𝛾 = 𝑗𝛽 = 𝑗𝜔 𝐿𝐶
ℜ 𝑉
𝑖
𝑒
𝑗𝜔𝑡−𝛾𝑥
= 𝑉
𝑖
cos(𝜔𝑡 − 𝛽𝑥)
𝜔 =
2𝜋
𝑇
𝛽 =
2𝜋
𝜆
𝑣
𝜑
=
𝜆
𝑇
=
𝜔
𝛽
⇒ 𝑣
𝜑
=
1
𝐿𝐶
[Page 33]
LIGNE SANS PERTE
Impédance caractéristique 𝒁
𝒄
=
𝑳
𝑪
• Câble RG58
• 𝐿 ≈ 250 𝑛𝐻/𝑚
• 𝐶 ≈ 100 𝑝𝐹/𝑚
𝑍
𝑐
=
250⋅10
−9
100⋅10
−12
= 50 Ω v
𝜑
=
1
𝐿𝐶
=
1
250⋅10
−9
×100⋅10
−12
= 2 ⋅ 10
8
𝑚/𝑠
[Page 34]
REFLEXION ET ONDE STATIONNAIRE DANS UNE LIGNE
• Changement d’impédance => réflexion d’une partie de l’onde
Ex : changement de section dans un tube et propagation d’une onde acoustique
Coefficient de réflexion :
𝚪 =
𝒁
𝟐
− 𝒁
𝟏
𝒁
𝟐
+ 𝒁
𝟏
Onde incidente
Onde réfléchie
Onde transmise
[Page 35]
REFLEXION ET ONDE STATIONNAIRE DANS UNE LIGNE
Coefficient de réflexion au générateur Coefficient de réflexion à la charge
𝚪 =
𝒁
𝒈
− 𝒁
𝒄
𝒁
𝒈
+ 𝒁
𝒄
𝚪 =
𝒁
𝑳
− 𝒁
𝒄
𝒁
𝑳
+ 𝒁
𝒄
• Impédance caractéristique de la ligne 𝒁
𝒄
• Impédance du générateur 𝒁
𝒈
• Impédance de la charge 𝒁
𝑳
[Page 36]
REFLEXION ET ONDE STATIONNAIRE DANS UNE LIGNE
Cas particuliers :
• Circuit adapté : Z
L
= Z
C
⇒ 𝚪 =
𝒁
𝑳
−𝒁
𝒄
𝒁
𝑳
+𝒁
𝒄
= 𝟎
• Circuit ouvert : Z
L
→ ∞ ⇒ 𝚪 =
𝒁
𝑳
−𝒁
𝒄
𝒁
𝑳
+𝒁
𝒄
≈ 𝟏
• Court-circuit : Z
L
= 0 ⇒ 𝚪 =
𝒁
𝑳
−𝒁
𝒄
𝒁
𝑳
+𝒁
𝒄
= −𝟏
[Page 37]
REFLEXION ET ONDE STATIONNAIRE DANS UNE LIGNE
Expression de l’onde de tension dans une ligne :
𝑣 𝑥, 𝑡 = 𝑉
𝑖
𝑒
𝑗(𝜔𝑡−𝑘𝑥)
+ 𝑉
𝑟
𝑒
𝑗(𝜔𝑡+𝑘𝑥)
= 𝑉
𝑖
𝑒
𝑗 𝜔𝑡−𝑘𝑥
1 + Γ𝑒
2𝑗𝛽(𝑥−𝑙)
• Taux d’onde stationnaire (TOS)
𝑆 =
𝑉
𝑚𝑎𝑥
𝑉
𝑚𝑖𝑛
=
1 + Γ
1 − Γ
Modulation d’amplitude
[Page 38]
REFLEXION ET ONDE STATIONNAIRE DANS UNE LIGNE
• Taux d’onde stationnaire
𝑆 =
𝑉
𝑚𝑎𝑥
𝑉
𝑚𝑖𝑛
=
1+ Γ
1− Γ
[Page 39]
ABAQUE DE SMITH
• Représentation du coefficient de réflexion dans le plan complexe
𝚪 =
𝒁 − 𝒁
𝒄
𝒁 + 𝒁
𝒄
• On travaille avec des impédances réduites
𝒛 =
𝒁
𝒁
𝒄
⇒ 𝚪 =
𝒛 − 𝟏
𝒛 + 𝟏
avec 𝒛 = 𝒓 + 𝒋𝒙
[Page 40]
ABAQUE DE SMITH
𝒛 =
𝒁
𝒁
𝒄
⇒ 𝚪 =
𝒛 − 𝟏
𝒛 + 𝟏
Exemples :
A) Z = Z
c
⇒ 𝑧 = 1 ⇒ Γ = 0
B) Z = 0 ⇒ 𝑧 = 0 ⇒ Γ = −1
C) Z → ∞ ⇒ 𝑧 = 1 ⇒ Γ = 1
D) Z = 𝑗Z
c
⇒ 𝑧 = 𝑗 ⇒ Γ = −𝑗
ℜ
ℑ
𝑨𝑩 𝑪
𝑫
1
1
[Page 41]
LES ANTENNES
Les transmissions Hertziennes
[Page 42]
STRUCTURE D’UNE TRANSMISSION HERTZIENNE
• Emetteur : • Antenne de réception
Produit un signal électrique transmis à l’antenne Capte une (petite) partie de l’OEM et transforme en signal électrique
• Antenne d’émission : • Récepteur :
Transforme le signal électrique en OEM Extrait l’information transmise du signal électrique reçu
[Page 43]
PROPAGATION EN CHAMP LIBRE
• L’onde électromagnétique est émise par une antenne.
• En espace libre, elle se propage environ à la vitesse de la lumière dans le vide : c = 3 · 10^8 m/s.
• La puissance subit une atténuation proportionnelle au carré de la distance parcourue.
• Interaction avec les obstacles => phénomènes ondulatoires
[Page 44]
PROPAGATION EN CHAMP LIBRE
• 3 zones de propagation distinctes :
• Champ proche (zone de Rayleigh) 𝑑 <
𝐷
2
2𝜆
• Champ intermédiaire (zone de Fresnel)
• Champ lointain (zone de Fraunhofer) 𝑑 >
2𝐷
2
𝜆
[Page 45]
PROPAGATION EN CHAMP LIBRE
• Champ proche (zone de Rayleigh) 𝑑 <
𝐷
2
2𝜆
Problèmes d’interférence avec les réflexions sur le sol
[Page 46]
PROPAGATION EN CHAMP LIBRE
• Champ intermédiaire (zone de Fresnel)
𝐷
2
2𝜆
< 𝑑 <
2𝐷
2
𝜆
Ellipsoïde de Fresnel (ordre 1) contient 60% de la puissance émise => éviter les obstacles dans cette zone
𝑟 =
𝜆 × 𝑑
1
× 𝑑
2
𝐷
[Page 47]
POLARISATION DE L’ONDE
[Page 48]
CARACTÉRISATION D’UNE ANTENNE
• Diagramme de rayonnement
Représentation de la directivité d’une antenne (puissance émise en dB en fonction de l’angle)
[Page 49]
CARACTÉRISATION D’UNE ANTENNE
antenne dipôle antenne patch antenne Yagi
[Page 50]
CARACTÉRISATION D’UNE ANTENNE
• Bande passante et fréquence de résonance
Antenne = circuit ouvert sauf pour les fréquences voisine de la fréquence de résonance
=> Transmission possible pour une certaine bande de fréquence (bande passante)
Représentation du coefficient de réflexion en fonction de la fréquence