Équations et inéquations

Ce qu'est une équation

Une équation est une égalité contenant une (ou plusieurs) inconnue(s), généralement notée $x$. Résoudre l'équation, c'est trouver toutes les valeurs de l'inconnue qui rendent l'égalité vraie — ses solutions.

Exemple : $2x + 3 = 11$. La solution est $x = 4$, car $2 \times 4 + 3 = 11$. Aucune autre valeur ne convient.

Les équations sont partout : elles traduisent des problèmes concrets en langage mathématique (« combien faut-il de... pour que... ? »), et savoir les résoudre est une compétence de base transversale — en physique, en électronique (loi d'Ohm, circuits), en finance, en dimensionnement réseau, en algorithmique. Ce cours couvre les grands types d'équations avec beaucoup d'exemples travaillés.

Le principe fondamental : l'équilibre

L'idée maîtresse pour résoudre une équation : une égalité est comme une balance en équilibre. Ce qu'on fait d'un côté, on doit le faire de l'autre pour garder l'équilibre. On a le droit de :

• Ajouter ou soustraire la même quantité des deux côtés.
• Multiplier ou diviser les deux côtés par un même nombre non nul.

En appliquant ces opérations, on isole progressivement l'inconnue. C'est la stratégie universelle. Tout revient à « déplacer » les termes pour laisser $x$ seul d'un côté.

Les équations du premier degré

Une équation du premier degré (ou linéaire) a l'inconnue à la puissance 1 seulement (pas de $x^2$). Forme générale : $ax + b = 0$. Elles se résolvent toujours par isolation de $x$.

Exemple travaillé détaillé : résolvons $3x + 5 = 20$.

• On soustrait 5 des deux côtés : $3x + 5 - 5 = 20 - 5$, donc $3x = 15$.
• On divise les deux côtés par 3 : $\frac{3x}{3} = \frac{15}{3}$, donc $x = 5$.
• Vérification (toujours vérifier !) : $3 \times 5 + 5 = 20$. Correct.

Exemple avec l'inconnue des deux côtés : résolvons $5x - 4 = 2x + 11$.

• On rassemble les $x$ d'un côté : on soustrait $2x$ des deux côtés → $3x - 4 = 11$.
• On isole le terme en $x$ : on ajoute 4 → $3x = 15$.
• On divise par 3 → $x = 5$.
• Vérification : $5 \times 5 - 4 = 21$ et $2 \times 5 + 11 = 21$. Égaux, correct.

Exemple avec parenthèses et fractions : résolvons $2(x - 3) = \frac{x + 6}{2}$.

• On développe à gauche : $2x - 6 = \frac{x+6}{2}$.
• On multiplie tout par 2 pour éliminer la fraction : $2(2x - 6) = x + 6$, soit $4x - 12 = x + 6$.
• On rassemble : $4x - x = 6 + 12$, soit $3x = 18$.
• On divise : $x = 6$.

Ces trois exemples montrent la même méthode : simplifier (développer, éliminer les fractions), rassembler les $x$ d'un côté et les nombres de l'autre, puis diviser.

Les équations du second degré

Une équation du second degré (quadratique) contient un terme en $x^2$. Forme générale :

$$ax^2 + bx + c = 0 \quad (a \neq 0)$$

Elles sont fondamentales (trajectoires, optimisation, physique) et se résolvent avec une méthode systématique : le discriminant.

La méthode du discriminant

On calcule d'abord le discriminant, noté $\Delta$ (delta) :

$$\Delta = b^2 - 4ac$$

Le signe de $\Delta$ détermine le nombre de solutions (une idée géométrique : c'est le nombre de fois où la parabole croise l'axe horizontal) :

• Si $\Delta > 0$ : deux solutions distinctes, données par

$$x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \qquad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$$

• Si $\Delta = 0$ : une seule solution (double) : $x = \dfrac{-b}{2a}$.
• Si $\Delta < 0$ : aucune solution réelle (la parabole ne touche jamais l'axe ; les solutions sont complexes).

Exemple travaillé ($\Delta > 0$) : résolvons $x^2 - 5x + 6 = 0$.

• Ici $a = 1$, $b = -5$, $c = 6$.
• Discriminant : $\Delta = (-5)^2 - 4 \times 1 \times 6 = 25 - 24 = 1$. Positif → deux solutions.
• $x_1 = \frac{5 - \sqrt{1}}{2} = \frac{5 - 1}{2} = 2$ et $x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3$.
• Vérification : $2^2 - 5 \times 2 + 6 = 0$ ✓ et $3^2 - 5 \times 3 + 6 = 0$ ✓.

Exemple ($\Delta = 0$) : résolvons $x^2 - 4x + 4 = 0$.

• $a = 1$, $b = -4$, $c = 4$. $\Delta = 16 - 16 = 0$ → une solution double.
• $x = \frac{4}{2} = 2$. (On reconnaît d'ailleurs $x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$.)

Exemple ($\Delta < 0$) : $x^2 + x + 1 = 0$.

• $\Delta = 1 - 4 = -3 < 0$ → pas de solution réelle.

Résolution par factorisation

Quand c'est possible, factoriser est plus rapide que le discriminant. On utilise le fait qu'un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul. Reprenons $x^2 - 5x + 6 = 0$ : elle se factorise en $(x - 2)(x - 3) = 0$. Donc soit $x - 2 = 0$ (d'où $x = 2$), soit $x - 3 = 0$ (d'où $x = 3$). Mêmes solutions, sans discriminant. Cette technique « produit nul » est très puissante quand la factorisation saute aux yeux.

Les systèmes d'équations

Un système est un ensemble de plusieurs équations à plusieurs inconnues qui doivent être vraies simultanément. Le cas le plus courant : deux équations, deux inconnues ($x$ et $y$). On l'a vu en profondeur en algèbre linéaire ; voici les méthodes de base « à la main ».

Exemple :

$$\begin{cases} 2x + y = 7 \\ x - y = 2 \end{cases}$$

Méthode par substitution — On isole une inconnue dans une équation, puis on la remplace dans l'autre.

• De la 2ᵉ équation : $x = y + 2$.
• On remplace dans la 1ʳᵉ : $2(y + 2) + y = 7$, soit $2y + 4 + y = 7$, donc $3y = 3$, $y = 1$.
• On revient : $x = 1 + 2 = 3$.
• Solution : $x = 3$, $y = 1$. Vérification : $2 \times 3 + 1 = 7$ ✓ et $3 - 1 = 2$ ✓.

Méthode par combinaison (élimination) — On additionne ou soustrait les équations pour éliminer une inconnue.

• En additionnant les deux équations membre à membre : $(2x + y) + (x - y) = 7 + 2$, les $y$ s'annulent → $3x = 9$, donc $x = 3$.
• On reporte : $2 \times 3 + y = 7$ → $y = 1$.
• Même solution.

Les deux méthodes donnent le même résultat ; on choisit selon ce qui est le plus simple. Pour les grands systèmes, on utilise le pivot de Gauss et les matrices (cours d'algèbre linéaire).

Les inéquations

Une inéquation ressemble à une équation, mais avec un signe d'inégalité au lieu de l'égalité : $<$ (strictement inférieur), $\le$ (inférieur ou égal), $>$ (strictement supérieur), $\ge$ (supérieur ou égal). Résoudre une inéquation, c'est trouver toutes les valeurs qui la satisfont — généralement un intervalle, pas une valeur unique.

Exemple : $2x + 1 < 7$. On isole $x$ comme pour une équation : $2x < 6$, donc $x < 3$. La solution est l'intervalle de tous les nombres strictement inférieurs à 3, noté $]-\infty\,;\,3[$.

La règle cruciale du signe négatif

Il y a une différence capitale avec les équations, source d'erreur classique : quand on multiplie ou divise les deux côtés par un nombre négatif, on inverse le sens de l'inégalité.

Exemple : résolvons $-3x + 2 > 11$.

• On soustrait 2 : $-3x > 9$.
• On divise par $-3$ — et on inverse le sens : $x < -3$ (le $>$ devient $<$).
• La solution est $]-\infty\,;\,-3[$.

Pourquoi cette inversion ? Intuition : $2 < 5$ est vrai, mais si on multiplie par $-1$, on obtient $-2$ et $-5$, et $-2 > -5$ (l'ordre s'inverse sur les négatifs). Il faut donc retourner le signe. Ne jamais oublier cette règle.

Représentation des solutions

Les solutions d'une inéquation se représentent par un intervalle et/ou sur une droite numérique. Notations :

• $x < 3$ s'écrit $]-\infty\,;\,3[$ (crochet ouvert : 3 est exclu).
• $x \le 3$ s'écrit $]-\infty\,;\,3]$ (crochet fermé : 3 est inclus).
• $1 \le x < 5$ s'écrit $[1\,;\,5[$ (borné des deux côtés).

Cette logique d'intervalles est directement utile en programmation (conditions, bornes, validation de plages de valeurs) et en réseau (plages d'adresses, de ports).

Mettre un problème en équation

La compétence la plus utile en pratique : traduire un problème concret en équation. La démarche :

1. Identifier l'inconnue (« que cherche-t-on ? ») et la nommer $x$.
2. Traduire les données de l'énoncé en une équation.
3. Résoudre.
4. Vérifier que la solution a du sens dans le contexte.

Exemple : « Un serveur traite un nombre fixe de requêtes par seconde. En 8 secondes il en a traité 120 de plus qu'en 2 secondes. Combien par seconde ? »

• Inconnue : $x$ = requêtes par seconde.
• Mise en équation : en 8 s il traite $8x$, en 2 s il traite $2x$ ; l'écart est 120 → $8x - 2x = 120$.
• Résolution : $6x = 120$, donc $x = 20$.
• Vérification : $8 \times 20 - 2 \times 20 = 160 - 40 = 120$ ✓. Le serveur traite 20 requêtes/seconde.

Cet aller-retour entre le monde concret et l'équation est l'essence de la modélisation mathématique — exactement ce que tu feras pour dimensionner, estimer, optimiser.

Ce qu'il faut retenir

• Une équation est une égalité à inconnue ; la résoudre = trouver les valeurs qui la vérifient. Principe : garder l'équilibre (même opération des deux côtés) pour isoler l'inconnue.
• Premier degré ($ax + b = 0$) : simplifier, rassembler les $x$ d'un côté, isoler, diviser. Toujours vérifier.
• Second degré ($ax^2 + bx + c = 0$) : calculer le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$. $\Delta > 0$ → deux solutions $\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$ ; $\Delta = 0$ → une solution $\frac{-b}{2a}$ ; $\Delta < 0$ → aucune réelle. La factorisation (produit nul) est un raccourci quand elle est visible.
• Systèmes : par substitution (isoler puis remplacer) ou combinaison (additionner/soustraire pour éliminer) — mêmes solutions ; Gauss/matrices pour les grands (algèbre linéaire).
• Inéquations : mêmes techniques, mais solution = intervalle. Règle capitale : multiplier/diviser par un négatif inverse le sens de l'inégalité. Notation par intervalles ($[\,]$ inclus, $]\,[$ exclu).
• Mettre en équation un problème (nommer l'inconnue, traduire, résoudre, vérifier) est la compétence pratique clé — le cœur de la modélisation.